周期函数的周期怎么求_周期函数
2023-06-11 13:52:47 来源: 互联网
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1、对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。

2、   周期函数性质:   (1)若T(≠0)是f(X)的周期,则-T也是f(X)的周期。


(资料图)

3、  (2)若T(≠0)是f(X)的周期,则nT(n为任意非零整数)也是f(X)的周期。

4、  (3)若T1与T2都是f(X)的周期,则T1±T2也是f(X)的周期。

5、  (4)若f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

6、  (5)T*是f(X)的最小正周期,且TT2分别是f(X)的两个周期,则 (Q是有理数集)  (6)若TT2是f(X)的两个周期,且 是无理数,则f(X)不存在最小正周期。

7、  (7)周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

8、周期函数的定义及性质 定义:设f(x)是定义在数集M上的函数,如果存在非零常数T具有性质; (1)对 有(X±T) ; (2)对 有f(X+T)=f(X) 则称f(X)是数集M上的周期函数,常数T称为f(X)的一个周期。

9、如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是函数f(X)的最小正周期。

10、 由定义可得:周期函数f(X)的周期T是与X无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。

11、 例1 常数值函数f(X)=C(C是常数)是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数。

12、 狄利克莱函数D(X)= 是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。

13、 由于正实数和正有理数都没有最小的,因而它们都没有最小正周期。

14、 2、性质: (1)若T(≠0)是f(X)的周期,则-T也是f(X)的周期。

15、 (因f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]= f(X))。

16、 因而周期函数必定有正周期。

17、 (2)若T(≠0)是f(X)的周期,则nT(n为任意非零整数)也是f(X)的周期。

18、 证:当n>0时,f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=…… =f(x+T)= f(X)。

19、 当n<0时,∵-n>0,由前证和性质1可得: nT=-(-nT)是f(X)的周期。

20、∴当n为任意非零整数时命题成立。

21、 (3)若T1与T2都是f(X)的周期,则T1±T2也是f(X)的周期。

22、(因f[x+(T1±T2)]=f(x+T1)= f(X))。

23、 (4)、如果f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

24、否则必存在n1r Z+(Z+为正整数)使T=n1T*+r(0<r<T*),则对 (f(X)的定义域)有f(X)=f(x+T)=f=(x+n1T*+r)=f(x+r),∴r也是f(X)的正周期,与T*是f(X)的最小正周期矛盾。

25、∴T必是T*的正整数倍。

26、 (5)T*是f(X)的最小正周期,且TT2分别是f(X)的两个周期,则 (Q是有理数集) 证:据条件和性质4知,存在KK2 Z,使T1=K1T*,T2=K2T*,∴ 。

27、 (6)若TT2是f(X)的两个周期,且 是无理数,则f(X)不存在最小正周期。

28、(用反证法据性质5即可证得)。

29、 (7)周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

30、 证:若T是f(X)的周期,则nT(n ,n≠0)也是f(X)的周期,∴ 有X±nT M,∴M双方无界,但并非M必定(-∞、+∞),如tgX和ctgX的定义域分别为X≠Kπ+π/2和X≠Kπ(K )。

31、 例2:f(X)=sinX( ≤10π)不是周期函数。

32、 3、周期函数的判定 定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C(K≠0)和1/ f(X)分别是集M和集{X/ f(X) ≠0,X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

33、 证:∵T*是f(X)的周期,∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X),∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C,∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。

34、 假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期,则必存在T’( 0<T’<T*)是K f(X)+C的周期,则对 ,有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0,∵K≠0,∴f(X+T’)- f(X)=0,∴f(X+T’)= f(X),∴T’是f(X)的周期,与T*是f(X)的最小正周期矛盾,∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。

35、 同理可证1/ f(X)是集{X/ f(X) ≠0,X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

36、 定理2:若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(aX+n)是集{X/aX+ b }上的以T*/ 为最小正周期的周期函数,(其中a、b为常数)。

37、 证:(先证 是f(ax+b)的周期),∵T*是f(X)的周期,∴ ,有X±T*∈M,∴a(X± )+b=ax+b±T*∈M,且f[a(X+ )+b]=f(ax+b±T*)=f(ax+b)∴ 是f(ax+b)的周期。

38、 再证 是f(ax+b)的最小正周期 假设存在T’(0<T’< )是f(ax+b)的周期,则f(a(x+T’)+b)=f(ax+b),即f(ax+b+aT’)=f(ax+b),因当X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各数时,ax+b就取遍M所有的各数,∴aT’是f(X)的周期,但 < =T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。

39、 定理3:设f(u)是定义在集M上的函数u=g(x)是集M1上的周期函数,且当X∈M1时,g(x)∈M,则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。

40、 证:设T是u=g(x)的周期,则 1有(x±T)∈M1且g(x+T)=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函数。

41、 例3 设=f(u)=u2是非周期函数,u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数,则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。

42、 同理可得:(1)f(X)=Sin(cosx),(2)f(X)=Sin(tgx),(3)f(X)=Sin2x,(4)f(n)=Log2Sinx(sinx>0)也都是周期函数。

43、 例4,f(n)=Sinn是周期函数,n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数,f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数(中学数学中已证)。

44、 例5,f(n)=cosn是周期函数,n=g(x)= (非周期函数)而f(g(x))=cos 是非周期函数。

45、 证:假设cos 是周期函数,则存在T>0使cos (k∈Z) 与定义中T是与X无关的常数矛盾,∴cos 不是周期函数。

46、 由例4、例5说明,若f(u)是周期函数,u= g(X)是非周期函数,这时f(g(x))可能是,也可能不是周期函数。

47、 定理4:设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数,TT2分别是它们的周期,若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数,T1与T2的公倍 数为它们的周期。

48、 证:设 ((p·q)=1)设T=T1q=T2p则有: 有(x±T)=(x±T1q)=(x±T2p)∈M,且f1(x+T) ±f2(x+T)= f1(x+T1q) ±f2(x+T2p)= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。

49、同理可证:f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。

50、 推论:设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数TT2……Tn分别是它们的周期,若, … (或T1,T2……Tn中任意两个之比)都是有理数,则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

51、 例6 ,f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。

52、 例7,讨论f(X)= 的周期性 解:2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

53、 5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。

54、 tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。

55、 又 都是有理数 ∴f(X)是以TT2、T3最小公倍数(TT2、T3)= 为最小正周期的周期函数。

56、 同理可证:(1)f(X)=cos ; (2) f(x)= ; (3)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。

57、是周期函数。

58、 定理5,设f1(x)=sin a1x,f2(x)=cosa2x,则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

59、 证:先证充分性: 若a1/a2∈Q,设TT2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期,则T1= 、T2= ,又 ∈Q 由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。

60、 再证必要性(仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明)。

61、 (1)设sina1x-cosa2x为周期函数,则必存在常数T>0,使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。

62、 令x= 得2cos(a1x+ ),则 (K∈Z)。

63、(2) 或 C∈Z(3) 又在(1)中令 2sin(a2x+ )sin =-2sin =0 由(4) 由sin (5) 由上述(2)与(3),(4)与(5)都分别至少有一个成立。

64、 由(3)、(5得 )(6) ∴无论(2)、(4)、(6)中那一式成立都有a1/a2 。

65、 (2)设sinaxcosa2x为周期函数,则 是周期函数。

66、 ∴ ∴ 例8 求证f(X)=sin x+cos x是非周期函数。

67、 证:假设f(X)是周期函数,则 是无理数矛盾。

68、∴f(X)是非周期函数。

69、 4、非周期函数的判定 (1)若f(X)的定义域有界 例9,f(X)=cosx( ≤10)不是周期函数。

70、 (2)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的,故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0,若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数,若这样的T不存在则f(X)为非周期函数,如例,f(X)=cos 是非周期函数(例5)。

71、 (3)一般用反证法证明。

72、(若f(X)是周期函数,推出矛盾,从而得出f(X)是非周期函数)。

73、 例10 证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。

74、 证:假设f(X)=ax+b是周期函数,则存在T(≠0),使对 ,a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0,∴T=0与T≠0矛盾,∴f(X)是非周期函数。

75、 例11 证f(X)= 是非周期函数。

76、 证:假设f(X)是周期函数,则必存在T(≠0)对 ,有(x+T)= f(X),当x=0时,f(X)=0,但x+T≠0, ∴f(x+T)=1,∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾,∴f(X)是非周期函数。

77、 例12 证f(X)=sinx2是非周期函数 证:若f(X)= sinx2是周期函数,则存在T(>0),使对 ,有sin(x+T)2=sinx2,取x=0有sinT2=sin0=0,∴T2=Kπ(K∈Z),又取X= T有sin( T+T)2=sin( T)2=sin2kπ=0,∴( +1)2 T2=Lπ(L∈Z+),∴ 与3+2 是无理数矛盾,∴f(X)=sinx2是非周期函数。

78、 例13 证f(X)=cos(lgx)为非周期函数 证:若f(X)=cos(lgx)是周期函数,则必存在T(>0)使对 >0有cos[lg(x+T)]=cos(lgx),当x=T时,cos(lg2T)=cos(lgT),当x=2T时,有cos(lg3T)=cos(lg2T)=cos(lgT)……,当x=9T时有cos(lg10T)=cos(lg9T)=cos(lg8T)=……cos(lgT) ∴cos(lgT)=cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT) ∴ 同理可得当X=99T时有cos(lgT)= ∴ = 若sin(lgT)≠0时,有 ∴cos1-cos21=sin21 ∴cos1=1 显然不成立。

79、 又若sin(lgT)=0 则lgT=Kπ ∴cos(lgT)=±1 cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT)=cos1=±1同样不成立 ∴cos(lgx)是非周期函数。

80、 证法2: ∵cos(lgx)的定义域为x>0,不是双方无界集合,由性质可知cos(lgx)不是周期函数。

81、 类似的还可证f(X)=cos(arc cosx)为非周期函数。

82、 参考文献: [1] 人民教育出版社中学数学室编,高级中学课本、代数上册 1990.10 [2] 曾建国、谈谈周期函数。

83、中学数学教学参考 1999.4。

本文分享完毕,希望对大家有所帮助。

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